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“特征信息”的捕捉与解题的最优化

丁保荣在文[1]中,提出了一个十分重要的问题:通过捕捉题设(或结论)中的“特征信息”,优化解题思路.罗增儒教授在他的许多文章中也有精辟的论述,尤其是在解题分析中,非常重视解题速度、解题的最优化问题.[2][3]

文[1]的例1、例2的“特征信息”,其实都可以联系到一个重要不等式:

定理 若a,b∈R,则(a+b)2≥4ab.

文[1]的例1尽管给出了三种解题思路,但是却有美中不足:尚未揭示出其最优解题思路;例2虽巧妙地构造出二次方程,但仍然缺乏最优化思考.

本文旨在展示平凡的定理(a+b)2≥4ab在“特征信息”聚焦时的最优化解题特征.

首先,通过“等导不等”来证明这个定理:

(a+b)2=4ab+(a-b)2≥4ab,

当且仅当a=b时,等号成立.

下面列举一系列数学问题,其“特征信息”均可或显或隐地聚焦于定理(a+b)2≥4ab.限于篇幅,解题时不作一一分析,只展现定理的最优化解题思路.

例1 已知实数a,b,c满足等式a=6-b,c2=ab-9,求证:a=b.  (文[1]例1)

证明:依定理(a+b)2≥4ab,即62≥4(c2+9),得c=0,从而a=6-b,ab-9=0,解得a=b=3,故证毕.

例2 若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,则x,y,z成等差数列. (1979年全国高考题)

证明:由题设知(z-x)2=4(x-y)(y-z),而依本文定理,则有(z-x)2=(x-z)2=[(x-y)+(y-z)]2≥4(x-y)(y-z),可见x-y=y-z,从而x,y,z成等差数列.

例3 方程组x+y=2,的实数解的组数是(  ).

xy-z2=1

A.1  B.2  C.3  D.无穷多 (1987年上海市初中数学竞赛试题)

解:依定理知,(x+y)2≥4xy,则22≥4(z2+1),得z=0,原方程组化为

x+y=2,显然只有一解x=y=1,故选A.

xy=1,

例4 已知a,b,c都是实数,且a+b+c=0,abc=1,求证:a,b,c中必有一个大于3/2.  (1991年“曙光杯”初中数学竞赛试题)

证明:由题知,a,b,c中必有一个是正数,不妨设c为正数.依定理(a+b)2≥4ab,得(-c)2≥4·(1/c),或c3≥4,于是c≥ > =3/2,故得证.

注意:此处还有意外收获,原题结论还可改进为:求证:a,b,c中必有一个不小于 .

例5 a,b,c,d都是小于1的正数,求证:在4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)中,不可能都大于1.  (1962年美国数学竞赛试题)

证明:巧妙地逆用定理,注意4a(1-b)·4b(1-c)·4c(1-d)·4d(1-a)=4a(1-a)·4b(1-b)·4c(1-c)·4d(1-d)≤[a+(1-a)]2·[b+(1-b)]2·[c+(1-c)]2·[d+(1-d)]2=12·12·12·12=1,由此可见,4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)中不可能都大于1.

例6 已知x>0,y>0,且x+y=4,S=(6-x)·(5-y),求S的最大值.

解:依定理,知4S=4(6-x)(5-y)≤[(6-x)+(5-y)]2=[11-(x+y)]2=(11-4)2=49,S≤49/4,当x=21/2,y=11/2时,Smax=49/4.

当然,定理最主要还是应用于巧证不等式方面.

例7 已知 y-2x=z,求证:y2≥4xz.  (文[1]例2)

证明:由题设,知 y=2x+z.依定理,知( y)2≥4·2x·z,或2y2≥8xz,即y2≥4xz,证毕.

纵观以上各例,依定理解题,显得规律有序,思路清晰,方法简便,且显然优于原来的方法.

例8 正数x,y,z,a,b,c满足条件a+x=b+y=c+z=k.求证:ax+by+cz<k2.  (1987年(前)苏联数学奥林匹克试题)

证明:传统证法大半是构造正三角形或正方形,利用面积关系证之.今依定理,即刻知

4ax+4by+4cz≤(a+x)2+(b+y)2+(c+z)2=k2+k2+k2=3k2,

于是,ax+by+cz≤(3/4)k2<k2,故证毕.

可见,依定理还有意外收获,得到原式的一个加强式:ax+by+cz≤(3/4)k2.而这一加强难在传统证法中体现出来.

例9 已知a>1,b>1,c>1,求证:

(a2/(b-1))+(b2/(c-1))+(c2/(a-1))≥12.

证明:依定题,知a2=[(a-1)+1]2≥4(a-1)·1=4(a-1).同理b2≥4(b-1),c2≥4(c-1),于是,(a2/(b-1))+(b2/(c-1))+(c2/(a-1))≥

4(((a-1)/(b-1))+((b-1)/(c-1))+((c-1)/(a-1)))≥4·3 =12,证毕.

例10 设x,y为非负数,且满足x+y=1,求证:

1+ ≤ + ≤2 .

证明:考虑( + )2=2(x+y)+2+2 =4+2 ,或 + = ,依题知及定理,有0≤4xy≤(x+y)2=1,故 ≤ + ≤ .

于是1+ ≤ + ≤2 ,证毕.

定理(a+b)2≥4ab的优化解题功效远不止这些,只要留心些,读者必定还会有所发现和创新.令人振奋的是,从基本不等式a+b≥2 ,平方即可得(a+b)2≥4ab;但令人遗憾的是,a+b≥2 的应用,已是老生常谈,而(a+b)2≥4ab却少见报道.笔者试图通过本文,借以引为重视!

参考文献

1 丁保荣.信息与解题.中学数学教学参考,2001,5

2 罗增儒.看透本质,优化过程.中学数学教学参考,2001,6

3 罗增儒.数学解题学引论.西安:陕西师范大学出版社,1997

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